Paradoja del Cumpleaños.

En muchas reuniones ocurre que hay algunos de los asistentes que cumplen años el mismo día, ¿es esto una mera coincidencia, o tiene alguna base científica? La respuesta a esta problema la da un resultado conocido como "Paradoja del Cumpleaños".

La “Paradoja del Cumpleaños” no es realmente una paradoja sino una “verdad” matemática que contradice la intuición que solemos tener sobre probabilidades. El enunciado es el siguiente: “Si en una fiesta se encuentran reunidas 23 personas, la probabilidad de que 2 de ellas cumplan años el mismo día es de algo más del 50%”, y lo que es aún más increible, “la probabilidad en el caso de que haya 60 personas en la fiesta llega hasta el 99%”.

La demostración de esto es la siguiente:

• Tendremos que tener en cuenta un grupo menor de 365 personas, ya que si superamos ese número, la probabilidad es 1, del 100% (seguro que alguien coincide, ya que no hay más días del año).
• La idea será calcular no la probabilidad de que coincidamos, sino la de que no coincidamos (la llamaremos p, por no ir diciendo “probabilidad” todo el rato). Después haremos 1-p, y esa será la probabilidad de coincidencia.

- Cogemos a la primera persona. Cumple años un día cualquiera del año.

- Cogemos a la segunda. Existe una probabilidad de de que no coincidan en su cumpleaños (arriba los casos favorables, todos los días del año menos el del cumpleaños del primero; debajo los casos totales).

- Cogemos a un tercero. Para que no coincida ni con el primero ni con el segundo, por el mismo motivo que el anterior, tendrá la probabilidad de .

- Etc etc.

Como tenemos sucesos independientes, la probabilidad de que todos los casos anteriores se produzcan (ya que nadie puede coincidir), será el producto de probabilidades, que en el caso de n personas, será el siguiente:

O en factorial (aquí ya he perdido a todos los lectores de letras, si es que quedaba algún curioso):

Pues ya tenemos la fórmula general. Como habíamos dicho que lo que queríamos saber era cuándo había coincidencia, retocaremos la fórmula:

Y esta sí que es la fórmula final.

Sólo tendremos que sustituir n por el número de personas, y veremos la probabilidad de que una parejita coincida en sus cumpleaños. Algunos ejemplos:

- Con n = 25 personas, la probabilidad es de 0.5687, es decir, un 56.87%.

- Con n = 40, la probabilidad llega a 0.891232. ¡Esto quiere decir que hay casi un 90% de probabilidad de que alguien coincida!