La ecuación más bella

En este 2007 se cumplen 300 años del nacimiento de Leonhard Euler, uno de los matemáticos más productivos y geniales de todos los tiempos. En honor a él, esta entrada en el blog con la considerada por muchos de forma unánime como la ecuación más bella de las matemáticas.

La ecuación involucra de forma fascinante a los cinco números más emblemáticos de las matemáticas, 0, 1, i (unidad imaginara igual a raíz cuadrada de -1), y los números irracionales pi (3,141592…) y e (2,718281…, base de los logaritmos neperianos).

Matemáticas y Cine II

Una Mente Maravillosa
Una mente maravillosa es un película fantástica, fue la película triunfadora en los Oscars del año 2002, con 4 estatuillas, entre ellas, la de mejor película. La película está basada en la biografía (escrita por Sylvia Nasar)del matemático John F. Nash . En el film, dirigido por Ron Howard, se introduce al espectador en el difícil mundo de la investigación matemática, del esfuerzo y la dedicación que supone conseguir las metas que uno se propone, y sobre todo de lo necesario que es el apoyo de las personas que te quieren.
La teoría de juegos, objeto de la investigación de Nash, estudia las estrategias óptimas así como el comportamiento previsto y observado de individuos en los juegos, teniendo numerosas aplicaciones en economía, filosofía y biología. Nash consiguiría el nobel por la teoría del equilibrio en los juegos en 1994. Hoy en día J.F. Nash es una leyenda viviente que sigue entregado a su trabajo.

Sipnosis
La película es una historia de amor que tiene a las matemáticas como telón de fondo, un drama intensamente humano sobre John F. Nash. Éste, un genio de las matemáticas, ve atacada su brillante mente por la esquizofrenia. Cualquier otra persona hubiera abandonado con esta enfermedad, pero Nash luchará por recuperarse con la ayuda de su esposa Alicia, y tras varias décadas de sufrimiento logrará superar su tragedia.

Reparto
Russell Crowe, Ed Harris, Jennifer Connelly y Christopher Plummer

Año
2001

Nota para intrépidos/as: En la película aparece que el irracional pi está entre 0 y 1, cosa que es absolutamente falsa. (ver en el cristal de la foto de arriba justo en la cara de Russel Crowe)

Los Logaritmos.

Hablar de Logaritmos en los institutos es hablar de sufrimiento para los alumnos, porque esta herramienta matemática se les atraganta hasta tal punto de tenerle miedo nada más nombrarlos. ¿Por qué aparecieron y cuándo? son dos buenas preguntas que vamos a intentar responder para hacer los logaritmos más accesibles.
Los principios del Siglo XV vivieron una extraordinaria expansión del tráfico marítimo, esto a su vez provocó la necesidad de disponer de más cartas astronómicas (mapas de del mar) y más precisas para orientarse en alta mar. Estas cartas requerían una gran cantidad de cálculos, y algunos de ellos bastante complejos (multiplicaciones y divisiones de números de muchas cifras). Como en ese tiempo no existía la calculadora, los matemáticos inventaron una herramienta que viniera ayudar en esta labor. ¿Adivinan cuál? Si, como pensaban fueron los logaritmos. La solución parte de la idea de transforman productos en sumas y divisiones en restas, porque evidentemente las sumas y las restas son más fáciles de calcular que las multiplicaciones y divisiones.

Así los logaritmos permitieron que astrónomos y científicos continuasen con su trabajo desembarazándolos de tediosos cálculos.

Veamos cómo funcionaban con un ejemplo. Supongamos la tabla de las potencias de 2:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Si queremos hacer 16 · 64 equivale a 4 + 6 = 10, lo que significa que el producto va a ser el número situado encima del 10, esto es,1024. Y si queremos dividir 512 entre 32 hacemos 9 – 5 = 4, lo que nos dice que el resultado es 16.
Así de forma natural aparece la definición de logaritmo de un número en cierta base, como una generalización de la tabla anterior: Loga b = c (se lee logaritmo en base a del número b)porque "a" elevado a "c" = b

Por ejemplo, Log 2 32 = 5 porque 2 elevado a 5 son 32, y Log2 128 = 7 porque 2 elevado a 7 son 128. Fue John Napier (1550-1617) en 1614 el que dio esta definición, si bien Michael Stifel ya había estudiado esta relación entre las potencias de un número y sus exponentes. No obstante se cree que Joost Bürgi (1552-1632) los descubrió seis años antes pero por motivos que se desconocen no lo publicó.

En 1617, aparecían las primeras tablas logarítmicas de números entre 1 y 1000 (generalización de la tabla anterior) con 14 decimales, y posteriormente de más y más números. Estas tablas serían muy útiles hasta que llegaron las calculadoras y las teclas Log y Ln, que nos dan el logaritmo de cualquier número en base 10 y base “e=2.71…”. Ln se llama logaritmo neperiano y debe su nombre a Napier.

Aplicaciones de los Logaritmos.

La escala de Richter es un ejemplo de Escala Logarítmica

Dentro del campo de las ciencias, los logaritmos son una herramienta fundamental a la hora de resolver ecuaciones, de analizar ciertos fenómenos mediante la función logarítmica (función recíproca de la función exponencial), y muchas cosas más.Pero dejando lo estrictamente matemático, una de las mayores aplicaciones de los logaritmos son las escalas logarítmicas.

¿Qué son y para qué se utilizan las escalas logarítmicas?
En la Naturaleza se dan situaciones en que se tienen que utilizar medidas de órdenes muy diferentes. Por ejemplo, Los pesos de los seres vivos:
un hombre puede pesar 90 kg = 90.000 gr = 10 elevado a 4,96 gr
un rotífero (el menor animal pluricelular): 0,00000000603 gr = 10 elevado a –8,22 gr
una ballena (el mayor de todos los animales): 120 Tm = 120.000.000 gr = 10 elevado 8,08 gr

Así que si tenemos que referirnos a diferentes animales por sus pesos o hacer una gráfica con los mismos, es un gran inconveniente que haya tan enormes diferencias entre unos y otros. Una solución para abreviar la expresión de esas diferencias es asignar a cada animal el logaritmo decimal de su peso, al que llamaremos el “orden de magnitud”. Por ejemplo: El rotífero:-8'22, la mosca:-5'30 , el escarabajo gigante (mayor insecto): 2'00, el hombre: 4'96, el avestruz: 5'20, el cocodrilo: 6'25, el elefante: 6'99, la ballena: 8'08
Ahora ya podemos, por ejemplo, hacer una escala con todos los animales que no sea excesiva. El orden de cada animal será un número entre –8 y 8 y llamaremos:

• muy pequeños, a los animales de órdenes entre -8 y –5
• pequeños, entre –5 y –2
• medianos, entre –2 y 2
• grandes, entre 2 y 5
• muy grandes, entre 5 y 8.

Esto es lo que se llama una escala logarítmica. En un rango pequeño, en este caso de -8 a 8, que consigue expresar realidades muy diferentes.
Ejemplos famosos de escalas logarítmicas son:

1. La escala para la medición de la intensidad del sonido.
   La presión del sonido que llega hasta nuestros oídos se mide en pascales. El intervalo de sonidos que puede percibir el ser humano oscila entre 0’00002 y los 100 pascales (umbral del dolor), es un intervalo tan amplio que resulta inmanejable, por lo que se adopta un escala logarítmica expresada en decibelios desde 0 a 180 db.
2. El Ph.
   Que es una medida de la acidez de una concetración (número de iones H3O+).
3. La escala Richter.
   Mide la intensidad de los terremotos que que es una magnitud que oscila entre 3’5 (casi impercertible) y 8 (Gran terremoto)
4. La magnitud aparente.
   La magnitud aparente de una estrella, planeta o de otro cuerpo celeste es una medida de su brillo aparente, es decir, la cantidad de luz que se recibe del objeto (el brillo aparente no es igual al brillo real, porque un objeto muy brillante puede estar muy muy lejos). Así por ejemplo, en esta escala al sol le corresponde una magnitud aparente de –26’8, a la luna –12’6, y a las estrellas más débiles visibles por el ojo humano +6.

Para más información: http://es.geocities.com/mundo_matematicas/

Chistes Matemáticos

Para que nos riamos un rato, algunos chistecitos de mates:

• En la fiesta de los ceros.
  Esta era una fiesta de ceros...
  Llega el 10, y lo paran en la puerta. El 10 les dice : "Oye, ¿acaso no puedo andar con bastón?".
  Llega el 101, y cuando lo paran dice: "Oye, ¿no ves que ando con muletas?".
  Llega el 7, y cuando lo paran dice: "Bah, es que pensé que era una fiesta de disfraces".
  Llega el infinito, y le dicen: "Ah, no, usted no entra". Y el infinito dice: "Desgraciado, nos discriminas por ser siameses".
  Llega el 1 y le dicen: "¿Y usted?".Responde: "Es que me puse a dieta".
  Llega el 8, y le dicen: "Usted sí que no entra, y no me diga que viene disfrazado". Y el 8 dice: "No, yo soy un 0, pero vine con cinturón".
  Llega el 6 y antes de que lo paren dice: "¿Qué pasa?. ¿No te gustan los Punk?".
  Llega el 40 y dice: "Yo pensé que podía traer a mi novia".
  Llega el 9 y le dicen: "Señor, si quiere entrar, ¡súbase la bragueta!".
• ¿Cuánto son 2+2 para un ...?
  Ingeniero: 3.9999989, Físico: 4.0004 +/- 0.0006, Matemático: espere sólo unos minutos mas, ya he probado que la solución existe y es única, ahora la estoy acotando, Filósofo: ¿Que quiere decir cuando dice "2+2"?, Informático: defina las características de la operación "+" y le responderé, Contable: cierra puertas y ventanas y pregunta en voz baja "¿cuánto quiere que sea el resultado?".
• Oveja Negra.
  Un físico, un ingeniero y un matemático van en un tren por Gales,y al observar por la ventana ven una oveja negra.- Ahh, dice el físico, "veo que las ovejas galesas son negras".- Mmm..., dice el ingeniero, "querrás decir que algunas ovejas galesas son negras".- No, dice el matemático, "todo lo que sabemos es que existe al menos una oveja en Gales, y que por lo menos uno de sus lados es negro".
• Pregunta en clase.
  El maestro.- "A ver, Jaimito, contesta rápidamente: ¿Cuántos son dos y dos?".
  Jaimito.- "Cinco".
  El maestro.- "¿Cómo puedes ser tan burro?".
  Jaimito.- "Pero usted qué quiere, ¿rapidez o precisión?".
• Examen de límites.
  En Bilbao, al salir de un examen de Análisis Matemático:
  - "Oye Patxi, ¿qué te ha dado el segundo límite, pues?".
  - "Más infinito".
  - "¿Sólo?".
• Aritmética de la pareja.
  Hombre inteligente + Mujer inteligente = ROMANCE
  Hombre inteligente + Mujer tonta = AVENTURA
  Hombre tonto + Mujer inteligente = MATRIMONIO
  Hombre tonto + Mujer tonta = EMBARAZO
• Aritmética de la empresa.
  Jefe inteligente + Empleado inteligente = BENEFICIO
  Jefe inteligente + Empleado tonto = PRODUCCIÓN
  Jefe tonto + Empleado inteligente = ASCENSO
  Jefe tonto + Empleado tonto = HORAS EXTRA

Pi y el fomento de la memoria

Este famoso número como todos sabemos es irracional, lo que significa que es un número con infinitas cifras decimales que no se repiten nunca. Este hecho ha fomentado en muchas personas la afición de memorizar sus cifras.
Uno de los casos más llamativos ha sido el del japonés Hideaki Tomoyori de cincuenta y cuatro años, natural de Yokahama, que fue capaz de recitar las 40.000 primeras cifras de pi de memoria en diecisiete horas y veintiún minutos, insertando pausas por un total de cuatro horas y quince minutos. Esta hazaña tuvo lugar los días 9 y 10 de mayo de 1987.

El truco para memorizar todos estos números es utilizar reglas nemotécnicas, que ayuden a recordar todos las cifras decimales. Algunas personas por ejemplo se crean historias usando palabras con un número de letras igual a la cifra décimal.

Para terminar las 200 primeras cifras decimales del número Pi.
Pi = 3’14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32832 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196…

Fuente: La sonrisa de Pitágoras

Ramanujan

Cualquier número entero positivo era un amigo personal suyo. (Con esta frase Littlewood hablaba de su colega Ramanujan)

Ramanujan (foto de pasaporte)

La historia de Ramanujan es una historia triste, pero que a su vez merece la pena ser contada, porque la vida está llena de estas personas y el mejor tributo para ellas es que con el paso de los años no caigan en el olvido. Con Ramanujan siempre se te queda la pregunta de qué hubiera pasado si hubiera nacido en otro lugar.

Srinivasa Ramanujan (1887-1920) tuvo una infancia difícil porque sus padres eran bastante pobres. Fue lento en aprender a hablar, pero pronto destacó en la escuela por sus dotes para las matemáticas "Se divertía repitiendo los valores de pi y de la raíz cuadrada de dos con cualquier número de cifras decimales a sus amigos". Después de terminar sus estudios básicos Ramanujan tenía claro que quería dedicarse a las matemáticas, pero desgraciadamente en esa época en la India no había lugar para profesionales de esta ciencia y aunque consiguió algunas becas terminó por buscar trabajo en las oficinas de la Compañía del Puerto de Madrás. ¡Qué paradoja! Uno de los genios matemáticos más grandes de la historia (como lo calificaría Hardy) debe abandonar en parte su carrera profesional para conseguir dinero para comer.

Pero para él las matemáticas eran su pasión y lejos de desanimarse de forma autodidacta y con mucho esfuerzo, llegó a completar unos cuadernos que contenían entre 3000 y 4000 teoremas, de los cuales casi dos tercios de ellos eran nuevos en matemáticas y el resto descubrimientos independientes de los ya realizados por otros matemáticos. Pero, lo que más llama la atención es la belleza con que representaba las relaciones matemáticas. ¡Era un amante de los números!. Suyas son:

En 1912 fue animado a comunicar sus resultados a tres distinguidos matemáticos. Dos de ellos no le respondieron, pero sí lo hizo Godfrey Harold Hardy, de Cambridge. Hardy estuvo a punto de tirar la carta, pero la misma noche que la recibió se sentó con su amigo John Edensor Littlewood, a intentar descifrar los 120 teoremas que acompañaban la misiva. Terminaría diciendo: "Esta es la obra de un genio". Invitado por Hardy, Ramanujan partió para Inglaterra en 1914 y comenzaron a trabajar juntos. En 1917 Ramanujan fue admitido en la Royal Society de Londres y en el Trinity College, siendo el primer indio que lograba tal honor. De salud muy débil, moría tres años después, cuando estaba como diríamos nosotros "en su salsa".

Para terminar:

La emocionante y humilde carta escrita a Hardy:
"Apreciado señor:
Me permito presentarme a usted como un oficinista del departamento de cuentas del Port Trust Office de Madrás con un salario de 20 libras anuales solamente. Tengo cerca de 23 años de edad. No he recibido educación universitaria, pero he seguido los cursos de la escuela ordinaria. Una vez dejada la escuela he empleado el tiempo libre de que disponía para trabajar en matemáticas. No he pasado por el proceso regular convencional que se sigue en un curso universitario, pero estoy siguiendo una trayectoria propia. He hecho un estudio detallado de las series divergentes en general y los resultados a que he llegado son calificados como "sorprendentes" por los matemáticos locales...
Yo querría pedirle que repasara los trabajos aquí incluidos. Si usted se convence de que hay alguna cosa de valor me gustaría publicar mis teoremas, ya que soy pobre. No he presentado los cálculos reales ni las expresiones que he adoptado, pero he indicado el proceso que sigo. Debido a mi poca experiencia tendría en gran estima cualquier consejo que usted me hiciera. Pido que me excuse por las molestias que ocasiono.
Quedo, apreciado señor, a su entera disposición .
S. Ramanujan."

Una de las anécdotas más famosas del genial Ramanujan:

La protagoniza con el propio G.H.Hardy. “Éste visitó a Ramanujan en el hospital, que se encontraba ya enfermo. Para darle conversación Hardy señala que el número del taxi que lo había traído, el 1729 era un número bastante soso, a lo que Ramanujan responde inmediatamente: ¡No, Hardy, No!. Se trata de un número muy interesante. Es el número menor que puede expresarse como suma de dos cubos dos maneras distintas”

Matemáticas y Cine

Cube

Cube cuando se estrenó en los cines pasó prácticamente inadvertida, pero el formato de video y el boca a boca la catapultó como uno de los clásicos del cine de ciencia ficción.

La película comienza y termina de forma extraña, dejando al espectador que razone y que saque sus propias conclusiones, el objetivo es que intente descubrir los motivos de la creación del cubo.

Sipnosis

Seis personas, desconocidas entre si, se despiertan una mañana en un espacio cerrado en forma de cubo. Entre esas personas están un escapista, un policía, una persona discapacitada, una medico, una brillante estudiante de matemáticas y una persona nihilista (de gran importancia en la trama)
El cubo está formado por compartimentos cúbicos que forman a su vez un cubo madre de grandes dimensiones. Estos habitáculos pueden ser de dos tipos: libres o con trampas, dependiendo del numero de serie que posea. Esas series de números tienen una relación lógica que tratan de resolver los ocupantes del cubo.
En Cube la ciencia juega un papel muy importante, en especial las matemáticas, conformando la trama de una forma exacta y sin rodeos.

Reparto
Nicole De Boer ( LeavenNicky), Guadagni (la doctora Hellen Holloway), David Hewlett ( David Worth), Andrew Miller (Kazan), Wayne Robson (Rennes), Maurice Dean Wint (Quentin).

Año

1997

La Ley de Titius-Bode

Distancia de los planetas al sol
La primera vez que escuché hablar de la ley de Titius-Bode me quedé impresionado al ver cómo las distancias de los planetas al sol encajaban prácticamente de forma perfecta con esta ley matemática. Es curioso este orden que gobierna la naturaleza. Veamos la apasionante historia llena de traiciones y de perseverancia que rodea la ley.

Johann Daniel Titius (1729-1796), profesor de matemáticas, al traducir libro del naturalista suizo Charles Bonnet, agregó un párrafo acerca de los planetas en el que mostraba que sus distancias al Sol se atienen a una fórmula cuando se miden en unidades astronómicas (una unidad astronómica [UA] es igual a la distancia media de la Tierra al Sol 147.597 x 10^6 km).
La fórmula opera de este modo: comenzando la serie de números por el 0, suma 3 y luego multiplica por 2 el resultado. Así se obtiene 0-3-6-12-24-48, etcétera. Suma 4 a cada uno de estos números obtenidos, y divide el resultado por 10 y se obteniendo la siguiente secuencia de números: 0,4 - 0,7 - 1,0 - 1,6 - 2,8 - 5,2 - 10,00 - 19,6 -38,8.

Serie original	Más 4	Dividido por 10
0	4	0,4
3	7	0,7
6	10	1,0
12	16	1,6
24	28	2,8
48	52	5,2
96	100	10,0
192	196	19,6
384	388	38,8

Es sorprendente que los siete primeros números de la tercera columna salvo el 2,8 describan con gran exactitud la distancia de los planetas al sol. Pero por desgracia el libro que traducía Titius junto con esta fórmula cayeron en el olvido.
La historia se retoma cuando Bode (astrónomo alemán) en 1772 escribe otro libro de introducción a la astronomía en el que incluye esta fórmula sin mencionar a su autor Titius (por lo que esta relación es conocida por muchos como la ley de Bode sólamente), y en el que pone de manifiesto su interés por descubrir qué pasa con el 2,8. ¿Habría otro planeta en esa zona que se desconocía?.

Nueve años después, otro famoso astrónomo William Herschel, descubre Urano a 19,18 UA, ¡¡ sorprendente, La fórmula predecía 19,6!! Esto hizo pensar dos cosas, la fórmula era verdadera y algo tenía que haber en el 2,8. ¡¡ Sigamos buscando, por favor!!

Y así fue, tenía razón, algo pasaba y algo había. ¡Viva el romanticismo!, ¡las matemáticas se salían con la suya!. El 1 de enero de 1801 Giuseppe Piazzi descubrió Ceres, el primero y mayor de los asteroides que giran alrededor del Sol, a unas 2,77 UA, entre Marte y Júpiter, cerquísima de lo que establece la ley de Titius-Bode. En esa zona posteriormente los científicos encontraron el llamado cinturón de asteroides (Pequeños trozos de rocas, que según algunos científicos podrían provenir de algún planeta que existió en esa zona).

Los astrónomos utilizaron afanosamente la ley de Titius-Bode para localizar Neptuno, pero éste demostró ser una anomalía dentro del sistema, estando significativamente más cerca de lo esperado. Sin embargo, Plutón estaba a la distancia predicha cuando se descubrió en 1930.