Inglés, Matemáticas y Criptogramas.

Esta próxima semana tengo exámenes de inglés en la EOI así que nada mejor que repasar un poco el inglés añadiéndole algo de matemáticas.Para eso os propongo dos criptogramas sacados del magnífico libro "La sonrisa de Pitágoras":

Un criptograma es un mensaje cifrado cuyo significado resulta ininteligible hasta que no es descifrado. Generalmente, el contenido del mensaje inteligible es modificado siguiendo un determinado patrón, de manera que sólo es posible comprender el significado original tras conocer el patrón seguido en el cifrado.

En los siguientes criptogramas se trata de sustituir las letras por números (del 0 al 9) para que la operación tenga sentido.

Criptograma de suma:

Criptograma de Inglés:

Las soluciones a los interesados se las mando por e-mail!!

Criptografía, Números Primos y el Método RSA.

Desde que el hombre ha necesitado comunicarse con los demás ha tenido la necesidad de que algunos de sus mensajes solo fueran conocidos por las personas a quien estaban destinados. La necesidad de poder enviar mensajes de forma que solo fueran entendidos por los destinatarios hizo que se crearan sistemas de cifrado, de forma que un mensaje después de un proceso de transformación, lo que llamamos cifrado, solo pudiera ser leído siguiendo un proceso de descifrado.

La palabra criptología proviene de las palabras griegas Kryto y logos y siginifica estudio de lo oculto. La criptología se divide en dos ramas: La criptografía, que se ocupa del cifrado de mensajes y El criptoanálisis, que se ocupa de descifrarlos. Actualmente la criptografía está presente en numerosos aspectos de la vida cotidiana, aunque apenas se note porque opera de forma silenciosa. Sistemas o dispositivos tan usuales como la telefonía móvil, la televisión de pago el comercio electrónico no serían posibles sin la implementación de técnicas criptográficas que permitan garantizar la seguridad e inviolabilidad de las comunicaciones.

Existen fundamentalmente dos sistemas de cifrado:

1. Sistemas de cifrado simétrico. Los sistemas de cifrado simétrico son aquellos que utilizan la misma clave para cifrar y descrifrar un documento.
2. Sistemas de cifrado asimétrico. También llamados sistemas de cifrado de clave pública. Este sistema de cifrado usa dos claves diferentes. Una es la clave pública y se puede enviar a cualquier persona y otra que se llama clave privada, que debe guardarse para que nadie tenga acceso a ella. Para enviar un mensaje, el remitente usa la clave pública del destinatario para cifrar el mensaje. Una vez que lo ha cifrado, solamente con la clave privada del destinatario se puede descifrar, ni siquiera el que ha cifrado el mensaje puede volver a descifrarlo.

Existen varios algoritmos (métodos matemáticos) que permiten el uso de una clave pública. El más difundido se conoce por las siglas RSA, que fue desarrollado por Rivest, Shamir y Adleman en 1977, y se basa en la dificultad que existe para factorizar un número como producto de dos primos. Es fácil, con los ordenadores de hoy en día, multiplicar dos números grandes para conseguir un número compuesto, pero es muy difícil la operación inversa, Dado ese numero compuesto, factorizarlo para conocer cada uno de los dos números. Y más si esos números con los que trabajamos son muy muy grandes (algunas claves militares tienen incluso 2048 cifras). De ahí, como ya se comentó en otra entrada del blog, el interés de conseguir números primos muy grandes.

Búsqueda de Números Primos Grandes.

Un número primo es un número que sólo es divisible por 1 y por el propio número. Por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... son números primos.

Euclides demostró que existen infinitos números primos allá por el 450 d. C. (Esto también lo demostraría nuestro ya nombrado Euler). Este hecho sería la mecha que encedería el deseo de encontrar entre los matemátic@s de todas partes y de todas las épocas, el número primo más grande que existe. (Interés que luego se incrementó con el desarrollo de la Criptografía).

Existe un método elemental para comprobar si un número es primo, éste consiste en ir dividiendo el número que me dan entre los sucesivos números primos menores que el número dado hasta que el cociente sea más pequeño que el divisor. Si tras esas divisiones no ha dado el resto cero el número es primo.
Por ejemplo: 37: 2 = 18 Resto 1, 37 : 3 =12 Resto 1, 37 : 5 = 7 Resto 2, 37 : 7 = 5 Resto 2. LLegamos a la conclusión que 37 es primo porque el cociente anterior dió 5.
Este método es viable para números pequeños, e incluso para números más grandes gracias a los ordenadores, pero cuando los números son muy muy grandes, este método se convierte en una locura. Lo que hizo pensar en la búsqueda de algoritmos o de fórmulas generadoras de números primos como la solución que aliviara esta búsqueda.

Hasta 1536 se pensó que los números de la forma 2^n-1 eran todos primos, pero ese año Hudalricus Regius, demostró que 2^11 - 1 = 2047 era el producto de 23 y 89. Sin embargo, muchos (se supone que infinitos) números primos cumplen esa condición. A los números primos que cumplen esa condición se les llama números primos de Mersenne. Y el uso de la fórmula 2^n - 1 es uno de los principales métodos para calcular números primos grandes.

Fermat (en 1640) creyó que había encontrado con la expresión 2^k + 1, con k = 2^n una fórmula para generar números primos. Pero Euler, casi un siglo después se lo estropeó, cuando probó que para n = 5, el número obtenido, 4.294.967.297, no es primo, sino el producto de 6.700.417 x 641. No obstante, también es generadora de muchos números primos

También Euler descubrió las siguientes fórmulas que en principio parecían generar gran cantidad de números primos "n^2 + n + 41" y "n^2 + n + 17 " pero fallaron para n = 40 y para n = 16, dado que producen números compuestos.

Así que, después de mucho tiempo de investigación aún no se ha descubierto una fórmula que permita dar todos los números primos que existen, estos se distribuyen al parecer de forma aleatoria y sin ningún patrón. No obstante, y como hemos visto, si se han ido encontrando algoritmos y/o fórmulas para encontrar una gran cantidad de números primos, y son muchas de ellas junto con la ayuda de los ordenadores las que se usan para descubrir números primos grandes.

El primo más grande que tengo constancia tiene 9.808.358 dígitos de largo, y fue descubierto el 4 de septiembre de 2006. Es un primo de Mersenne, de hecho el número 44. El número en cuestión es "2^32582657 - 1 = 12457502601536945540…11752880154053967871" dónde los puntos suspensivos indican millones de dígitos intermedios.
La Electronic Frontier Foundation ha ofrecido un premio de 100.000 dólares a la primera persona en descubrir un número primo de 10 millones de dígitos o más. ¡Es su oportunidad de hacerse rico y hacerse famoso!

Descárgate un generador de números primos para Windows

El tío Petros y la Conjetura de Goldbach

Hay libros que sin demasiada publicidad y sólamente con el boca a boca van adquiriendo cierta fama y se convierten en los favoritos de los lectores. Éste, seguramente es uno de ellos.
Cuando escuché por primera vez hablar de este libro, me llamaron la atención tres cosas: El nombre del autor, el título del libro y por supuesto la hermosa portada que atrae desde el principio, como los osos a la miel, a cualquier aficionado a las matemáticas.

El tío Petros y la conjetura de Goldbach a pesar de su título, que engaña con sinceridad, es realmente la historia del sobrino de Petros, que crece fascinado por la figura del enigmático anciano al que su familia de comerciantes considera una oveja negra a pesar de su indiscutible y brillante pasado como matemático. Pero tío Petros es ahora sólamente un anciano que vive recluido en una casa de campo, rodeado de libros de matemáticas que ya no lee, y enfrascado en la resolución de problemas de ajedrez.
El autor utiliza de forma sutil la relación sobrino-tío para contar la aventura de un hombre que dedica su vida a desentrañar uno de los problemas matemáticos más elusivos de la historia de esta disciplina: "la conjetura de Goldbach" . El libro habla de matemáticas, de matemáticos famosos, de ajedrez. Pero también, se convierte en una mirada aguda a la naturaleza del genio humano y en una tierna alegoría sobre la importancia del amor familiar.
Es un libro absorvente, que apasiona y divierte, que no se puede dejar hasta haber alcanzado el final, y su mérito descansa en su capacidad de convertir un asunto aparentemente elitista, en algo de interés para todos.

Los amantes de las matemáticas, y los que no, tienen en este libro una oportunidad extraordinaria de disfrutar un delicioso texto.
Apostolos Doxiadis (nació en Australia en 1953, creció en Atenas,y a los 15 años fue admitido en la universidad de Columbia para estudiar Matemáticas).

Apostolos Doxiadis: El tío Petros y la conjetura de Goldbach. Ediciones B. Barcelona, 2000 Traducción de María Eugenia Ciocchini. 198 páginas.

Calculadoras Humanas.

Gauss, Ramanujan, Euler, Wallis, John Von Neuman... Todas estas personas comparten un vínculo común. Además de ser todos matemáticos famosos que han pasado a la historia por sus innumerables contribuciones a esta ciencia, todos ellos tenían una gran habilidad para realizar operaciones matemáticas a gran velocidad usando únicamente su mente.

A estas personas se las suele calificar de "Calculadoras Humanas", y cualquier exhibición de sus facultades mentales no deja indiferente a nadie.

Alberto Coto García es uno de esas personas consideradas "calculadoras humana". De hecho, es la persona más rápida del mundo haciendo cálculos mentales. Nacido en Mayo de 1.970 en la localidad asturiana de Lada de Langreo. Su habilidad para el cálculo parte de una base innata, según los psicólogos que le han estudiado, dado que consigue sumar a más de 5 dígitos por segundo.
Sería a mediados de los 90 cuando Alberto Coto se dio cuenta que su extraordinaria habilidad para los cálculos iba más allá de lo que pensaba. Por aquel entonces, vio como un concursante de televisión deslumbraba haciendo una multiplicación que él realizaba en la cuarta parte de tiempo.
Aunque en principio quería hacer Empresariales, pronto sus estudios universitarios se encaminaron hacia el mundo de las Matemáticas, y en particular se ha convertido en un experto en el campo de la Criptografía.
Alberto posee dos extraodinarios records Guinnes en dos modalidades de las que posteriormente quedaría campeón del mundo. Es habitual verlo en diferentes programas de televisión y en exhibiciones donde muestra toda su capacidad.
Y contrariamente a lo que mucha gente podría pensar, es un gran aficionado al deporte, de hecho es un gran corredor de maratones. Y con una mejor marca que ya la quisiera yo para mi.

Mas información sobre Alberto Coto en su página personal: Haz click

El Informe Pisa. ¿Somos los españoles los más torpes?

Una vez más en el Informe Pisa los estudiantes españoles de 15 años vuelven a quedar a la cola entre los 30 países que componen la OCDE (Organización para la cooperación y el desarrollo económico).

¿Qué les pasa a nuestros estudiantes? o mejor ¿Qué le pasa a nuestro sistema educativo?

Según este informe, España es el país que más empeora su nivel de lectura (es cuarto por la cola) y en ciencias y matemáticas ocupa el octavo y sexto lugar por la cola, respectivamente. Estos datos constratan con países como Finlandia que vuelven a conseguir los mejores resultados.

Las causas de este fracaso, en mi opinión, muchas y de muy diversa índole son:

• Los continuos cambios de sistemas educativos según el partido político que gobierne, que crean un caos en estudiantes, profesores, padres, etc...
• La falta de una apuesta fuerte por parte de los partidos políticos cuando llegan al poder por la mejora de la educación. Siempre claro está, tienen a la Educación en cuenta, pero desde la Segunda República, la Educación ha dejado de ser la abanderada de los campaña de los gobiernos.La falta de medios tecnológicos con que los profesores cuentan para enseñar a los alumnos, Esto íntimamente relacionado con el punto anterior, lleva al quiero y no puedo por parte de los docentes.
• La falta de una ratio adecuada en las clases (demasiados alumnos por clases), la falta de medios humanos que permitan atender la diversidad de niveles y de culturas a la que tienen que hacer frente los docentes.
• La falta de salidas adecuadas para los alumnos/as que no quieren estudiar, que se aburren, que fastidian y que no permiten a otros alumnos/as que si quieren seguir estudiando lo hagan.
• Los cambios en nuestra sociedad, en la concepción de la familia, en la concepción de la educación, la pérdida de respeto y de esos valores que aunque suenen a repetitivos son la base de para una buena educación.
• La masificación que hace unos años tuvieron las universidades españolas, y el gran número de parados, y de estudiantes que después de haber pasado años de estudio se ven obligados a realizar trabajos poco remunerados. Esto hizo, a algunos alumnos/as plantearse ¿Vale la pena estudiar tanto?
• El poco fomento que se hace de la lectura, y la gran permisibilidad que existe en los padres con las horas que sus hijos ven la tele o juegan a los videojuegos. Y el poco control que de sus horas de estudio de sus hijos tienen.

Para colmo, los alumnos/as andaluces quedan en el último lugar a nivel nacional, siendo los alumnos/as de Castilla León dónde los que obtienen los mejores resultados. ¿El por qué? Pues, más de lo mismo. Algunos se atreven incluso a decir que el buen tiempo reinante en Andalucía no favorece el estudio y achaca a esto uno de las causas del fracaso. Pero en mi opinión, nada más lejos de la realidad. La Educación es cosa de todos, y en base a esto, como profesor y como andaluz que soy, todos, desde nuestros gobernantes hasta los padres pasando por los profes debemos esforzarnos por salir de esa pésima posición que desgraciadamente ocupamos.

Cine y Matemáticas IV

El Indomable Will Hunting

Esta película que en la edición de los Oscar del año 1997 tuvo 9 Nominaciones, de las cuales se llevó el Oscar al mejor guión original y el Oscar al mejor actor secundario (Robin Williams) es una de esas películas que a los aficionados al cine le dejan huella. Con unos muy trabajados diálogos, el director cuenta la vida de un chico muy inteligente pero sin mucha suerte en la vida. El amor, las matemáticas, el fracaso y la amistad se mezclan en este film para estremecer al espectador. En mi opinión una deliciosa película, con dos de mis actores favoritos.

Sipnosis

Will Hunting es un joven-prodigio autodidacta que trabaja en los servicios de limpieza de un instituto. Allí, un profesor de matemáticas, premiado con la Medalla Fields (el equivalente a los Premios Nobel en matemáticas), descubrirá sus portentosas facultades e intentará que reconduzca su vida.

Reparto: Will Hunting: Matt Damon, Sean McGuire: Robin Williams, Skylar: Minnie Driver, Chuckie: Ben Affleck, Lambeau: Stellan Skarsgard, Billy: Cole Hauser

Director: Gus van Sant

Año: 1998

Póquer y Probabilidad.

No siempre se dispone de toda la información necesaria para prever lo que va a ocurrir. Lo habitual la mayoría de las veces es lo contrario, no sabemos con seguridad si al lanzar una moneda al aire va a salir cara o cruz. El cálculo de probabilidades es la rama de las matemáticas que intenta poner un poco de orden en esta incertidumbre.

Debido al interés de las personas por los juegos de azar y por conseguir beneficios en ellos nació el Cálculo de Probabilidades. Se considera el problema planteado por el caballero de Meré al matemático Girolamo Cardano en el siglo XVI como la semilla que daría pie al comienzo de su estudio.

El Cálculo de probabilidades ha tenido después muchas aplicaciones fuera del campo de los juegos de azar pero siempre han sido estos uno de los ámbitos dónde más se ha usado, quizás por la afición que tienen estos juegos y por el deseo de ganar. En esta entrada estudiamos las probabilidad de obtener diferentes situaciones con las cartas jugando al póquer.

Para calcular las diferentes probabilidades se usa la regla de Laplace que dice que la probabilidad de que ocurra un suceso será el cociente entre el número de casos favorables a que ocurra y el número de casos posibles.

Los casos posibles salen de: Como una mano de póquer está compuesta de 5 cartas, las posibles manos de póquer distintas que se pueden obtener con las 52 cartas son:

El número combinatorio nos dice el número de manos posibles con 5 cartas que existen.

Para obtener los casos favorables se cuentan las posibles manos de póquer a cada caso, así después de aplicar la regla de Laplace se tiene que las diferentes probabilidades son:

Escalera: "Cinco cartas consecutivas " Probabilidad = 0'003925

Escalera de Color: "Cinco cartas consecutivas del mismo palo" Probabilidad = 0'000015

Color: "Cinco cartas del mismo color" Probabilidad = 0'001965

Póquer: "Cuatro cartas con el mismo número" Probabilidad = 0'00024

Pareja: "Dos cartas con el mismo número" Probabilidad = 0'422569

Trío: "Tres cartas con el mismo número" Probabilidad = 0'021129

Doble Pareja: "Dos cartas con el mismo número + otras dos cartas con el mismo número, es decir dos parejas" Probabilidad = 0'047539

Full: "Tres cartas con el mismo número + dos cartas con el mismo número, es decir un trío y una pareja" Probabilidad = 0'001441

El Teorema. Un libro apasionante

Este verano tuve la oportunidad de leer uno de esos libros que me encantan, y que siempre cuando alguien me pregunta por un libro para pasar un buen rato de lectura no lo dudo en recomendar. Matemáticas, asesinatos, ciencia ficción se juntan en este para mi excelente libro.

En el libro se cuenta la trepidante historia entre un matemático "David Caine" epiléptico y muy aficionado a las cartas; su hermano "Jaspers" esquizofrénico y una ex-agente de la CIA y la KGB.

David es un matemático con unas dotes increibles para el cálculo de probabilidades que da clase en la universidad, pero sus continuos ataques de epilepsia y su cada vez mayor afición al juego son el germen de la trama que plantea Adam Fawer y que lleva al lector a no poder dejar de leer uno tras otro los capítulos del libro.