Doblando papeles y Potencias.

Durante la ESO aparecen una y otra vez las potencias. Os proponemos en esta entrada una actividad en la que se relacionan las potencias de dos (en particular las progresiones geométricas) y los dobleces de un papel.

Empecemos: ¿Qué grosor tiene una hoja de papel?

Considerando que un paquete de 500 folios mide unos 5 cm. Entonces tenemos que 5 cm: 500 = 0,01 cm por folio. Cada vez que doblamos el papel el grosor aumenta el doble 2 x 0,01= 0,02 cm. Al doblarla otra vez, tendré el doble de lo anterior, esto es: 2 x 0,02= 0,04 cm

Y así sucesivamente:

Observa que con 10 dobleces, el grosor es de 10 cm, y que con 22 dobleces es de 419, 43 m, que es más alto que la Torre Eiffel, que mide 300 m de altura.

Continuamos doblando:

Cuando llegamos a las 27 dobleces el grosor alcanza la altura de la montaña más alta del mundo, el Everest , que mide 8.848 m sobre el nivel del mar. Y al doblar 42 veces, el papel ya tendrá un grosor de 43.980.465.111,04 cm; que redondeando nos da 439.800 km que es incluso más que la distancia de la Tierra a la Luna 384.400 Km.

El único problema para llegar a la Luna es que nadie ha conseguido doblar una hoja de papel ni 15 veces, por muy grande que fuera la hoja. El record está en 12 veces.

Enlace Interesante: Doblando papeles y fractales

Ajedrez, Tenis y Progresiones Geométricas.

Se llama sucesión de números reales a una secuencia ordenada de números, por ejemplo, 1,3,5,7...
Algunas de estas sucesiones (como las progresiones geométricas) son bastante importantes porque aparecen en nuestra vida cotidiana más frecuentemente de lo que pensamos. Aquí vamos a ver dos situaciones dónde intervienen las progresiones geométricas, pero éstas también lo hacen en cuestiones bancarias que tanto nos preocupan como amortizaciones de capitales, cálculo de intereses,...


Se dice que el ajedrez fue inventado en la India. La leyenda es tan falsa como conocida, pero no por ello pierde su encanto y su halo de misterio. La leyenda dice más o menos así:
"Un marajá, agobiado por una desgracia insoportable, recibe como regalo un juego novedoso para que distraiga sus días y alivie su dolor. Tanto lo entusiasma y hace que olvide sus desgracias que decide premiar a su inventor. Éste se presenta ante él, inclina la cabeza y hace un pedido "modesto" ante la exigencia del marajá de que pida cualquier cosa porque le será satisfecha: Por la primera casilla me gustaría recibir, un grano de trigo. Por la segunda, dos granos. Por la tercera, cuatro. Por la cuarta, ocho. Por la quinta, dieciséis. En cada casilla el doble de granos que en la anterior, y así hasta la casilla 64.
El rey se ofende por un pedido tan miserable y ordena a sus sirvientes que complazcan al inventor y lo acompañen hasta la salida. Poco después se acerca al trono el ministro de finanzas. Con voz temblorosa, y le dice al marajá que el inventor del ajedrez está pidiendo 18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo, más de lo que hay en todo el reino, en toda la India, y en todo el universo. Al final el marajá le ofrece la mano de su hija, o lo nombra general, o le corta la cabeza, no se sabe muy bien."

Que cada número sea el doble que el anterior equivale a multiplicarlo por 2. Así para la primera casilla pide un solo grano, para la segunda pide 1×2 granos, para la tercera 1×2×2 granos y para la cuarta casilla pide 1×2×2×2 granos. Estos números son conocidos como potencias de dos y forman una secuencia de números llamada progresión geométrica de razón = 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,256, 512, ... ). Esta progresión se caracteriza porque aunque al principio el crecimiento parece lento, luego tiende a crecer descomunalmente rápido, (como desgraciadamente comprobó el marajá).

Las potencias de 2 también aparecen en los torneos de tenis. En muchos torneos se realizan cuadros de enfrentamiento con la siguiente dinámica: En la final se enfrentan dos jugadores; en la semifinal hay cuatro; en los cuartos de final hay ocho jugadores. Así, en cada ronda adicional la cantidad de jugadores se duplica, tal como ocurría con los granos de trigo en el tablero de ajedrez. Si el torneo tuviera 25 rondas podrían participar casi todos los habitantes de España y son suficientes 33 rondas para que participen todos los habitantes del planeta.